2つの直線が平行・垂直となる条件

上野竜生です。2つの直線が平行・垂直となる条件を紹介します。

基本形（y=ax+b）のとき

2つの直線y=ax+bとy=a'x+b'が…

平行⇔　a=a'
垂直⇔　aa'=-1
一致⇔　a=a'かつb=b'

これはほぼ自明です。唯一垂直条件が自明じゃないと思うのでこれだけ覚えましょう。

一般形（ax+by+c=0）のとき

2つの直線ax+by+c=0とa'x+b'y+c'=0が…

平行⇔　ab'-ba'=0　⇔　a:b=a':b'
垂直⇔　aa'+bb'=0
一致⇔　a:b:c=a':b':c'

[証明]　基本形に直せばよい。

平行・一致の証明

b≠0のときax+by+c=0は
\( \displaystyle y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} \)
と変形できる。

このときb'=0であれば片方はy軸に平行でもう片方はy軸に平行ではないので2直線は平行にならない。ゆえにb'≠0

するとa'x+b'y+c=0は
\( \displaystyle y=-\frac{a'}{b'}x-\frac{c'}{b'} \)
と変形できるから平行条件は

\(\displaystyle -\frac{a}{b}=-\frac{a'}{b'} \)となり両辺に-bb'をかけると
ab'=ba'　よってab'-ba'=0

一致するときは平行かつy切片が等しいので\(\displaystyle -\frac{a}{b}=-\frac{a'}{b'} \)かつ\(\displaystyle \frac{c}{b}=\frac{c'}{b'} \)

つまりa:b=a':b'かつa:c=a':c'なのでa:b:c=a':b':c'

b=0のときax+by+c=0はax+cとなりy軸に平行である。よってb'≠0なら先ほどと同様の理由で不適。ゆえにb'=0となりこれはab'-ba'=0を満たす。

一致するときは\( \displaystyle x=-\frac{c}{a}=-\frac{c'}{a'} \)よりa:c=a':c'だから
a:0:c=a':0:c'を満たす。　（∵直線の式なのでaかbの少なくとも一方は0でないからb=0ならa≠0）

垂直条件の証明

b≠0かつb'≠0のときそれぞれの傾きは

\( \displaystyle -\frac{a}{b},-\frac{a'}{b'} \)だから

\( \displaystyle \left(-\frac{a}{b}\right) \cdot \left( -\frac{a'}{b'} \right)=-1 \)
整理するとaa'+bb'=0

b=0かつb'=0のときはどちらもy軸に平行なので2直線は垂直にならない。

a≠0,a'≠0よりaa'+bb'=0になることはないので適。

b=0かつb'≠0のとき

b=0よりy軸に平行だからもう片方はx軸に平行でなければならない。よって

\( \displaystyle -\frac{a'}{b'}=0 \)となりa'=0

これはaa'+bb'=a・0＋0・b'=0なので満たす。

b≠0かつb'=0のときも同様。

このように場合分けは大変ですが実質的に基本形だけ知っていれば何とかなります。類似の式を2つも覚えると公式暗記ミスのリスクが高まります。

そこでオススメする方法は・・・

です。要はb=0とかの場合分けは本当はしないといけない。しかし一般形の公式を使うのならその結果は証明しなくてよい。でもb=0のときとかも成り立つことは知っている。でも場合分けして証明が・・・

→　暗記ミスリスクを避けるためb≠0,b'≠0の場合の変形を計算用紙にこっそりしておく。これで正しい公式が得られる。そこで得られた公式のみを答案用紙に残しb=0のときはごまかすのです。答案用紙上には公式を使ったことになってるので証明はしなくてもいいですよね。

これが暗記ミスと場合分けの面倒さを両方回避できる最高の方法です！

例題

裏技を用いて公式を導いたものとして公式で解きます。

裏技を使わず基本形に変形すると以下のような解答になります。

(1)　a=2のとき①はy軸に平行だが②はy軸に平行でないので不適。
a=3のときは②がy軸に平行だが①がy軸に平行でないので不適。
a≠2,a≠3のとき①②はそれぞれ

となる。

よって平行条件より\( \displaystyle -\frac{a}{a-2}=-\frac{a-2}{a-3} \)

これを解くとa=4

(2)　a=2のとき①はy軸に平行，②はx軸に平行なので条件を満たす。
a=3のとき②はx軸に平行だが①はy軸に平行でないので条件を満たさない。

a≠2,3のとき傾きの積が-1だから

\( \displaystyle \left(-\frac{a}{a-2}\right)\left(-\frac{a-2}{a-3} \right) =-1 \)

両辺に(a-2)(a-3)をかけるとa(a-2)=-(a-2)(a-3)

(2a-3)(a-2)より\( a=2, \frac{3}{2} \)

a≠2,3より\(a=\frac{3}{2} \)

以上より答えは\( a=2,\frac{3}{2} \)

出題頻度も低いので公式を覚えるほうが面倒かもしれません。もし出題されたらこのぐらいの場合分けはやってやる！！と思うならこのような解答でも良いでしょう。

おまけ

先ほどの一般形の公式を知っていれば証明は明らかですが一応紹介しておきます。こちらも出題頻度は低いです。