当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。問26の答えを発表します。

問26 

次の空欄を埋めてください。センター試験のようにカタカナ1文字に数字1つが入ります。

円周上に点A,X,B,C,Dがこの順で反時計回りにある。
弦ACと弦BDは垂直に交わり,交点をEとする。
AE=アイ,BE=ウエ,CE=,DE=カキとする。
このとき「円と線分AE,EDで囲まれた部分のうちXを含まないほう」と「円と線分BE,ECで囲まれた部分のうちXを含まないほう」の面積の和はクケπ-コサとなる。
なお,πは円周率である。

今週の問題 問26の図

 

答え

ステップ1 面積をAE,BE,CE,DEで表す。

AE=a , BE=b , CE=c , DE=dとする。(a,b,dは2ケタの整数。cは1ケタの整数。)
桁数よりa>c

方べきの定理よりac=bd

図のように円の中心を原点・ACをx軸に平行・BDをy軸に平行とし,円の半径をRとする。(一般性を失わない)

問26 座標の図

 

このときCの座標は\( (\frac{a+c}{2} , \frac{b-d}{2}) \)となるので

\( \displaystyle R^2=\left( \frac{a+c}{2} \right)^2 + \left( \frac{b-d}{2} \right)^2 = \frac{a^2+2ac+c^2+b^2-2bd+d^2}{4} = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} \)

(∵ac=bd)

求める面積をa,b,c,dで表す。

b≦dのときAC,BDをx軸やy軸に関して対称移動させると

求める面積=(円の面積+真ん中の長方形の面積)÷2となる。

b≦dのときの図

よって面積=\( \frac{\pi R^2}{2}+ \frac{(a-c)(d-b)}{2} \)

しかし,問題文ではコサの係数はマイナスなので不適。

b>dのとき同様にすると求める面積は

b>dのときの図

\( \displaystyle \frac{\pi R^2}{2}+ \frac{(a-c)(b-d)}{2} \)
\( \displaystyle =\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{8}\pi + \frac{(a-c)(b-d)}{2} \)

(b>d)となる。

広告

ステップ2:桁数の条件よりa,b,c,dを定める。

\( a^2+b^2+c^2+d^2\)が8の倍数にならないといけないので偶奇を絞り込む。

一般に奇数の2乗は8で割ると1余る
(∵(2k+1)2=4k(k+1)+1 連続2整数の積は偶数なので8の倍数+1)

よってa,b,c,dはすべて偶数でなければならない。

以下a=2A , b=2B , c=2C , d=2Dとする。

ここまでを整理すると次の通り。

 

アイ=2A (Aは5以上49以下の整数)
ウエ=2B (Bは5以上49以下の整数)
 =2C (Cは1以上4以下の整数)
カキ=2D (Dは5以上49以下の整数)
B>D
AC=BD
クケ=\( \frac{A^2+B^2+C^2+D^2}{2} \) (2ケタの整数)
コサ=\( 2(A-C)(B-D) \) (2ケタの整数)

クケの条件より\( A^2+B^2+C^2+D^2 \)は20以上198以下の偶数である。

B≧6(∵B>D) , D≧5よりA2≦137だからA≦11

C=1とするとAC=BDよりA=BD≧30となり不適。
C=2とするとA≧15となり不適。
よってC=3またはC=4である。

C=3のとき A≦11とC=3からBD≦33となり,これを満たすB,DはB=6,D=5のみ。
このとき(A,B,C,D)=(10,6,3,5)となる。

C=4のとき A≦11とC=4からBD≦44となり,これを満たすB,Dは
(B,D)=(6,5),(7,5),(8,5) , (7,6)
AC=4A=BDなのでBDが4の倍数になる必要があり(B,D)=(8,5)以外は不適。

このとき(A,B,C,D)=(10,8,4,5)となる。

ステップ3:出てきた候補が条件をすべて満たすか確認

(A,B,C,D)=(10,6,3,5)を面積の式に代入すると
\( \frac{10^2+6^2+3^2+5^2}{2} \pi - 2(10-3)(6-5)=85\pi- 14 \)となり条件を満たす。(他の条件もすべて満たすので適。)

(A,B,C,D)=(10,8,4,5)を面積の式に代入すると
\( \frac{10^2+8^2+4^2+5^2}{2} \pi - 2(10-4)(8-5)=\frac{205}{2}\pi- 36 \)となり桁数が合わず不適。

よって(A,B,C,D)=(10,6,3,5)となり,答えは

アイ=20, ウエ=12, =6, カキ=10, クケ=85, コサ=14

である。

 

正解者

0名

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。