今週の問題 問26 答え

上野竜生です。問26の答えを発表します。

問26

次の空欄を埋めてください。センター試験のようにカタカナ1文字に数字1つが入ります。

円周上に点A,X,B,C,Dがこの順で反時計回りにある。
弦ACと弦BDは垂直に交わり,交点をEとする。
AE=アイ,BE=ウエ,CE=,DE=カキとする。
このとき「円と線分AE,EDで囲まれた部分のうちXを含まないほう」と「円と線分BE,ECで囲まれた部分のうちXを含まないほう」の面積の和はクケπコサとなる。
なお,πは円周率である。

今週の問題 問26の図

答え

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ステップ1 面積をAE,BE,CE,DEで表す。

AE=a , BE=b , CE=c , DE=dとする。(a,b,dは2ケタの整数。cは1ケタの整数。)
桁数よりa>c

方べきの定理よりac=bd

図のように円の中心を原点・ACをx軸に平行・BDをy軸に平行とし,円の半径をRとする。(一般性を失わない)

問26 座標の図

このときCの座標は\( (\frac{a+c}{2} , \frac{b-d}{2}) \)となるので

\( \displaystyle R^2=\left( \frac{a+c}{2} \right)^2 + \left( \frac{b-d}{2} \right)^2 = \frac{a^2+2ac+c^2+b^2-2bd+d^2}{4} = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} \)

(∵ac=bd)

求める面積をa,b,c,dで表す。

b≦dのときAC,BDをx軸やy軸に関して対称移動させると

求める面積=(円の面積+真ん中の長方形の面積)÷2となる。

b≦dのときの図

よって面積=\( \frac{\pi R^2}{2}+ \frac{(a-c)(d-b)}{2} \)

しかし,問題文ではコサの係数はマイナスなので不適。

b>dのとき同様にすると求める面積は

b>dのときの図

\( \displaystyle \frac{\pi R^2}{2}+ \frac{(a-c)(b-d)}{2} \)
\( \displaystyle =\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{8}\pi + \frac{(a-c)(b-d)}{2} \)

(b>d)となる。

ステップ2:桁数の条件よりa,b,c,dを定める。

\( a^2+b^2+c^2+d^2\)が8の倍数にならないといけないので偶奇を絞り込む。

一般に奇数の2乗は8で割ると1余る
(∵(2k+1)2=4k(k+1)+1 連続2整数の積は偶数なので8の倍数+1)

よってa,b,c,dはすべて偶数でなければならない。

以下a=2A , b=2B , c=2C , d=2Dとする。

ここまでを整理すると次の通り。

アイ=2A (Aは5以上49以下の整数)
ウエ=2B (Bは5以上49以下の整数)
 =2C (Cは1以上4以下の整数)
カキ=2D (Dは5以上49以下の整数)
B>D
AC=BD
クケ=\( \frac{A^2+B^2+C^2+D^2}{2} \) (2ケタの整数)
コサ=\( 2(A-C)(B-D) \) (2ケタの整数)

クケの条件より\( A^2+B^2+C^2+D^2 \)は20以上198以下の偶数である。

B≧6(∵B>D) , D≧5よりA2≦137だからA≦11

C=1とするとAC=BDよりA=BD≧30となり不適。
C=2とするとA≧15となり不適。
よってC=3またはC=4である。

C=3のとき A≦11とC=3からBD≦33となり,これを満たすB,DはB=6,D=5のみ。
このとき(A,B,C,D)=(10,6,3,5)となる。

C=4のとき A≦11とC=4からBD≦44となり,これを満たすB,Dは
(B,D)=(6,5),(7,5),(8,5) , (7,6)
AC=4A=BDなのでBDが4の倍数になる必要があり(B,D)=(8,5)以外は不適。

このとき(A,B,C,D)=(10,8,4,5)となる。

ステップ3:出てきた候補が条件をすべて満たすか確認

(A,B,C,D)=(10,6,3,5)を面積の式に代入すると
\( \frac{10^2+6^2+3^2+5^2}{2} \pi – 2(10-3)(6-5)=85\pi- 14 \)となり条件を満たす。(他の条件もすべて満たすので適。)

(A,B,C,D)=(10,8,4,5)を面積の式に代入すると
\( \frac{10^2+8^2+4^2+5^2}{2} \pi – 2(10-4)(8-5)=\frac{205}{2}\pi- 36 \)となり桁数が合わず不適。

よって(A,B,C,D)=(10,6,3,5)となり,答えは

アイ=20, ウエ=12, =6, カキ=10, クケ=85, コサ=14

である。

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