1次不等式と連立1次不等式の解き方

上野竜生です。1次不等式の解き方と連立不等式の解き方を紹介します。

(連立)1次不等式

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基本問題

次の不等式を解け
(1) 4x>8
(2) 4x+3≦x-3
(3) -5x≦25
答え(1)両辺を4で割るとx>2
(2)移項すると3x≦-6
両辺を3で割るとx≦-2
(3)移項すると0≦5x+25
-25≦5x
両辺を5で割ると-5≦x
よってx≧-5

注意しないといけないのは(3)を単純に-5で割りx≦-5とすると不等号の向きが違うという点です。マイナスで掛けたり割ったりするときは注意が必要です。今回の答えのように毎回移項してもいいですが時間の無駄なので「マイナスをかけたり割ったりすると不等号の向きが変わる」と覚えておきましょう。

それを覚えていると(3)は次のようになります。

(3) 両辺を-5で割るとx-5

無意識のうちに不等号の向きが変えられるようになればこれでいいでしょう。

なお向きが変わるだけで等号の有無は変わりません。

連立不等式

連立不等式はまず1つずつ解き,最後にそれらの共通範囲を求めます。

例題:次の連立不等式を解け
(1)\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 5x\geq 10 \\ 4x-5<7 \end{array} \right.\end{eqnarray}\)
(2)\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}7x+9>2\\ 6-3x \leq 5\end{array} \right.\end{eqnarray} \)
(3)\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x \geq x+8 \\ 4x+4>5x\end{array} \right.\end{eqnarray}\)
(4)1<x+3≦2x
(5)\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x+5 \geq x+9\\ x+8\leq 12 \\ 3x > x+5\end{array} \right.\end{eqnarray}\)

答え(1)それぞれの不等式を解くとx≧2とx<3

よって2≦x<3
(2)それぞれの不等式を解くとx>-1と\( x \geq \frac13\)

よって\( x \geq \frac13\)
(3)それぞれの不等式を解くとx≧4とx<4
よって解なし
(4)1<x+3かつx+3≦2xを解けばよい。それぞれの不等式を解くと
x>-2かつx≧3  よってx≧3
(5)それぞれの不等式を解くとx≧2とx≦4と\(x>\frac52\)

よって\( \frac52 < x \leq 4 \)

連立不等式

(1)「x≧2かつx<3」と答えてもいいですがこのような書き方を覚えましょう。(4)では逆に1行にまとめた連立不等式です。一見一つしかないように見えますが2つ連立されています。まず2つの不等式を書き,それを解いてまとめます。

連立不等式は必ずしも2式の解の「間」の部分が答えになるとは限りません。(2)のように1つが無意味になる場合や(3)のように解なしになる場合もあります。

3つ以上連立している(5)も基本通り考えます。最後のまとめるところがわかりにくければ数直線を書いてみると良いでしょう。

とりあえずここまで勉強しておけば数Iの不等式の基礎はいいでしょう。

マイナスの数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが変わる。連立する場合は1つずつ解き,最後に共通範囲を求める。この2つをおさえましょう。

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