【クイズ】2・3次関数の1/6(1/3,1/12)公式正しく適用できますか？

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上野竜生です。前回放物線に関連する1/6公式・1/12公式を紹介しました。今回はその復習と3次関数の1/12公式をまとめておきます。最後にクイズも用意したので理解度チェックとして挑戦してみてください。

$【クイズ】1/6公式適用できますか？$

2次関数の1/3公式

$2次関数の1/3公式$

図のようにy=ax²+bx+cがx=αでx軸と接している。x座標がβである放物線上の点からx軸に垂線を下ろす。このとき赤い部分の面積は
$$ \frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^3$$

[証明]

a>0のときこの放物線の式はy=a(x-α)²だから

$ \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)^2 dx \\
\displaystyle =a \int_{0}^{\beta-\alpha} x^2 dx \\
\displaystyle =\frac{a}{3}(\beta-\alpha)^3 $

aが負のときは符号が逆転するだけなので求める式を得る。

2次関数の1/6公式・1/12公式

前回紹介したものの結果のみを残します。

$2次関数1/6公式$

図の放物線のx²の係数をaとし，3つの破線は「αと書かれた点における放物線の接線」「βと書かれた点における放物線の接線」「αとかかれた点とβと書かれた点を通る直線」である。α,βはその点のx座標である。このとき

赤い部分の面積は$ \displaystyle \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 $

青い部分の面積は$ \displaystyle \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3 $

さらに2つの接線の交点をCとするとCのx座標は$ \displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2} $

2次関数の1/12公式

これはあまり公式としては使わないほうがいいですが・・・

$2次関数1/12公式$

図のようにx²の係数がともにaである2つの放物線がある。それらの共通接線と放物線の交点のx座標がα,βであるとき赤い部分の面積は$ \displaystyle \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3 $
さらに2つの放物線の交点Cのx座標は$ \displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2} $

[証明]　後半（納得できない人はすべて文字で置いて実際に計算してもOK。なおαと書かれた点を単に点αということにします。）

各放物線の式から接線の式を引くとx軸と点α',β'で2つの放物線が接していることになる。(α',β'はx座標がα,βと同じでy座標が0の点）
よって「Cとα'のy座標の差」＝「Cとβ'のy座標の差」である。
x²の係数が等しいのだから「Cとα'のx座標の差」＝「Cとβ'のx座標の差」でありCはα',β'の中点であり，α,βの中点である。

前半　点Cからx軸に垂線を引きその線で赤い部分を2分割する。a>0のときのみ示す。

左側の面積は1/3公式より

$ \displaystyle \int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}} a(x-\alpha)^2 dx=\frac{a}{3}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha\right)^3=\frac{a}{24}(\beta-\alpha)^3 $

右側の面積も同様に

$ \displaystyle \int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta} a(x-\beta)^2 dx=-\frac{a}{3}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\beta\right)^3=\frac{a}{24}(\beta-\alpha)^3 $

（被積分関数を-1倍して積分区間を逆にし，1/3公式を使う。）

よって赤い部分の面積は$ \displaystyle \frac{a}{12}(\beta-\alpha)^3 $

3次関数の1/12公式

$3次関数の1/12公式$ 　 $3次関数の1/12公式$

x³の係数がaである3次関数で赤い部分の面積はどちらも$ \displaystyle \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4 $

[証明]左のみ示す。aの扱いは今までと同様なのでa=1のときのみ示す。

左のグラフの3次関数の式はy=(x-α)(x-β)²だから部分積分すると

$ \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^2 dx\\
=\displaystyle \left[\frac{1}{3} (x-\alpha)(x-\beta)^3\right]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{3} (x-\beta)^3 dx \\
=\displaystyle -\int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{3} (x-\beta)^3 dx\\
=\displaystyle -\left[\frac{1}{12}(x-\beta)^4\right]_{\alpha}^{\beta}\\
=\displaystyle \frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4 $

（別解）x-α=(x-β)+(β-α)を使う。

$ \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^2 dx\\
=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \{(x-\beta)+(\beta-\alpha)\}(x-\beta)^2 dx\\
=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\beta)^3 + (\beta-\alpha)(x-\beta)^2 dx\\
=\displaystyle \left[\frac{1}{4}(x-\beta)^4 + \frac{1}{3}(\beta-\alpha)(x-\beta)^3\right]_{\alpha}^{\beta}\\
=\displaystyle -\frac{1}{4} (\alpha-\beta)^4 -\frac{1}{3}(\beta-\alpha)(\alpha-\beta)^3\\
=\displaystyle \frac{1}{12}(\beta-\alpha)^3$

x⁴以上になっても部分積分を使えば計算できます。応用上は部分積分で導くほうがいいでしょう。