2次試験対策
解と係数の関係 意外と使えます
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上野竜生です。解と係数の関係を用いた問題はよく出ます。 解と係数の関係 (i) 2次方程式\( ax^2+bx+c=0 \)の2つの解を\( \alpha , \beta \)とすると\( \displaystyle \ […]
相加相乗平均の関係の証明
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上野竜生です。前回，相加相乗平均の基本的な使い方を解説しました。そのときに証明を後回しにしてましたが，今回はその証明について述べていきます。 2変数の場合 示すべき式は次の通りです。 \(a>0 ,b>0\) […]
数学的帰納法 基本と応用
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上野竜生です。数学的帰納法はほぼワンパターンで解けます。ただし応用もあるのでここで紹介しようと思います。 基本パターン 1) n=1のときに成立を示す。 2) n=kのときに成立するならばn=k+1のときも成立 を示す。 […]
相加相乗平均の関係の正しい使い方
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上野竜生です。相加相乗平均の関係はよく使いますがいろいろな落とし穴があります。落とし穴にはまらないように気を付けましょう。 相加相乗平均の関係とは 相加相乗平均の関係とは次の性質です。出てくる文字はすべて正の数とします。 […]
被積分関数が絶対値付きの定積分
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上野竜生です。絶対値がついた積分を計算する問題はたまに出ますが勘違いしている人も多いようなので正しい計算方法を紹介します。 まずは絶対値を外すこと ∫|f(x)|dxを計算するときまずはy=| […]
定積分を含む関数漸化式
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上野竜生です。定積分を含む関数漸化式の解き方を紹介します。今回は例題１つだけなので解説することは少な目です。 例題 関数列fn(x)はすべてxの1次関数で次の漸化式を満たす。fn(x)を求めよ […]
正五角形の長さや面積の導出
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上野竜生です。正五角形は対角線も含めたあらゆる角度が36°の倍数になっています。角度に注意すればすぐに相似な図形が見つかります。 ただし，36°の倍数の三角関数は求められなくはないですが複雑なので求めさせることは少ないで […]
三角形の面積の求め方まとめ
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上野竜生です。三角形の面積を求める公式はたくさんあります。大学受験の範囲で使えそうなものをいくつかまとめました。 パターン１(基本)：底辺×高さ÷2 当たり前ですね。ただし「底辺」「高さ」をどう見るかによっていろいろな解 […]
1辺aの正四面体の長さ・面積・体積・2平面のなす角度などまとめ
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上野竜生です。1辺がaの正四面体の長さや表面積などに関するものを求めてみました。比較的求めやすいもの・試験問題に出やすいものから解説していきます。 表面積は\( \sqrt3 a^2 \) 1辺aの正三角形の面積の公式よ […]
因数定理の基本と応用
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上野竜生です。因数定理とは次の定理です。 多項式f(x)が(x-α)で割り切れる⇔f(α)=0 たったこれだけですがかなり使えます。実際に例題をいくつか見ていきましょう。 例題１ \( x^5+3x^2 \)を(x-1) […]
コーシーシュワルツの不等式と内積の関係
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上野竜生です。コーシーシュワルツの不等式は難関大学だとたまに出てきたりします。知っておくと便利ですし，内積と結び付ければ覚えやすいと思うので難関大学を狙う人は理解しましょう。 コーシーシュワルツの不等式（一般） \( \ […]
極限 定期試験対策（模擬試験）
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上野竜生です。数IIIの「極限」の章末問題として定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれる(第4問選択時)ので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけ […]
背理法と無理数であることの証明
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上野竜生です。今回は背理法とその具体例をいくつか紹介します。 背理法とは 「Aであることを示せ」という問題でAであることを示すのが難しい場合、「Aでないと仮定すると矛盾。よってAである」のようにできる証明方 […]
2次方程式の解の範囲から定数の範囲を定める難問
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上野竜生です。基本パターン「は・じ・き」で解けるタイプをマスターした人はこれで満足しがちですがなんとも厄介なことに類似のラスボスが待っています。しかも「は・じ・き」パターンと勘違いしてしまうぐらい良く似ています。今回はラ […]