係数が対称である方程式の解き方(相反方程式)
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上野竜生です。相反(そうはん)方程式の解法を紹介します。 相反方程式とは ax4+bx3+cx2+bx+aのように係数が左右対称になっているもののことです。これによって相反であれば4次式や5次式が簡単に解け […]
2次試験対策
体積の求め方（回転体ではない立体を積分で）
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上野竜生です。立体の体積の求め方ですが球のように公式があるものはそれで求めればいいです。また回転体は回転体の公式通りやればいいのでそれほど難しくありません。ここでは回転体でない立体の体積を積分で計算する方法を紹介します。 […]
チェビシェフの多項式（cosのn倍角の公式）
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上野竜生です。cosのn倍角の公式を紹介します。 cosのn倍角の公式 始めのうち(n=3まで)は教科書で習いますし，n=4,5ぐらいなら現実的な時間で導けると思います。結果だけ示します。 cosθ=cosθ cos2θ […]
3次関数の最大最小極大極小問題～頻出かつ簡単～
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上野竜生です。3次関数の最大最小問題は非常に簡単なので計算間違いとの戦いです。確実に理解しましょう。 具体例 例題: \( f(x)=x^3-3x \)の極大値を求めよ。 この問題では１パターンです。 1. f(x)を微 […]
重心の軌跡
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上野竜生です。今回は重心の軌跡に関する問題を１つ解いてみます。慣れればかなり基本的な部類ですが慣れるまで少しややこしいかもしれません。 問題 A(1,2) , B(2,-5)とする。点Pが円(x-6)2+y2=9の円周上 […]
3つの直交する円柱の共通部分の体積
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上野竜生です。今回は3つの直交する円柱の共通部分の体積を紹介します。2つのときとほぼ同様ですが計算が大変になることと，それをうまく回避する技も紹介します。もちろん大変な計算も省略せず1つ1つ丁寧に式変形して書いていきます […]
極値から係数を求める方法
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上野竜生です。極値から係数を求める方法を紹介します。途中までは基本通りですが最後に十分性を確認しないといけないのがポイントです。 極値から係数を求める方法 f(x)がx=αで極値をとる⇒f'(α)=0 なのでまずf'(x […]
高次式の値は割り算をして次数を下げよ！
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上野竜生です。√を含む複雑な式の代入は地道に計算する必要がありません。割り算の余りを使った解法がありますので紹介します。 例題１ \( \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)のとき，\ […]
回転体の体積の求め方-一般論-
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上野竜生です。回転体の体積を求める一般論を紹介します。 超基本：y=f(x)とx=α,x=β,x軸で囲まれた部分をx軸中心に1回転 体積\(\displaystyle V=\int_{\alpha}^{\beta} \p […]
f(x,y)g(x,y)>0の表す領域
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上野竜生です。今回はf(x,y)g(x,y)>0のタイプの領域の図示の方法を紹介します。 基本 f(x,y)g(x,y)>0⇒「f>0かつg>0」または「f<0かつg<0 […]
絶対値が付いた領域
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上野竜生です。絶対値がついた領域の基本的な解き方と知っておいた方がいい内容を紹介します。 パターン１：一般の場合（基本） 例： |x2+y2-5|≦4x の表す領域を図示せよ。 絶対値の基本的な外し方に忠実に解くだけです […]
積分の計算（三角関数関連）
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上野竜生です。積分の計算は奥が深いです。ここでは三角関数に関連する積分を扱います。 なおすべて積分定数は省略します。 基本計算 \( \displaystyle \int \sin{x} dx=-\cos{x}\) \( […]
極値のxの値が汚いときの極値の計算方法
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上野竜生です。3次関数の極大極小を求めるやり方は簡単ですがf'(x)=0を解くのに解の公式でといた場合、最後の代入の計算量が膨大になります。もちろん頑張って計算してもいいのですがそういうときは多項式のわり算を計算して「余 […]