ブラーマグプタの公式の証明とその拡張
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上野竜生です。今回はヘロンの公式の拡張としてブラーマグプタの公式を紹介して証明します。あまり頻繁に使うことはないと思うので興味がある人用のコンテンツです。さらに発展例としてブレートシュナイダーの公式と双心四角形の面積の公 […]
Author: 上野竜生
三角形の内接円の半径と外接円の半径の違い
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上野竜生です。今回は三角形の内接円と外接円の半径の求め方を整理します。どちらもすでに習ったような基本事項ですが内接円と外接円がごちゃまぜにならないように一度整理しておきましょう。 例題 三角形ABCにおいてAB=4,BC […]
sin18°とcos36°を二等辺三角形から求める
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上野竜生です。sin18°,cos36°は数IIで3倍角の公式まで習うとできますが，数Iの範囲でもうまい図形をかくと求めることができます。かなり有名なのでノーヒントで導き出せるようにしたい問題です。 有名問題 次の図にお […]
15°,75°,22.5°,67.5°の三角比をうまい三角形で求める
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上野竜生です。今回は15°,75°,22.5°,67.5°の三角比を，うまい三角形から求めることを紹介します。数IIの三角関数を習うと二倍角の公式や半角の公式を習うのでそこから求められますが，数Iでも適切な三角形をかいて […]
正n角形の面積・周の長さ
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上野竜生です。今回は正n角形の面積と周の長さを求めます。半径1の円に内接するほうが楽ですが，ついでに一辺が1の正n角形の面積も考えます。もちろん一辺が1の正n角形の周りの長さはnであることはいうまでもありません。 問題 […]
ヘロンの公式の証明と適用
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上野竜生です。今回は3辺の長さがわかったときにその三角形の面積を求めることができるヘロンの公式を紹介します。証明と例題で確認しましょう。 ヘロンの公式 POINT3辺の長さがa,b,cである三角形の面積は\(\displ […]
今週の問題 問128 答え
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上野竜生です。問128の答えを発表します。 問128 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{32} {}_{128}C_{4k} = {}_{128}C_0+{}_{128}C_4 + {}_{128} […]
三角比の対称式
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上野竜生です。今回は三角比の対称式を扱います。三角関数には相互法則があるので1つの式（sinθ+cosθの値）がわかるだけでsinθcosθが導け，そこからすべての対称式の値がわかります。 例題 \(\displayst […]
三角比の測量と三角比表
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上野竜生です。数学の問題としてはあまり定番ではない測量の問題ですが，共通テストではよく見かけます。意外と苦戦する人もいるので紹介します。数学的には角度は30°や45°など，きれいな角度しか解きにくいのですが，三角比表を与 […]
今週の問題 問127
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問題 （★） 問127 7つの三角関数の積 \(\displaystyle \cos{\left(\frac{\pi}{127}\right)}\cos{\left(\frac{2\pi}{127}\right)}\co […]
二項係数の最大・最小
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上野竜生です。今回は二項係数の最大・最小問題を扱います。二項係数をnの式などで書けるのが基本です。そのうえで最大・最小の計算をしていきます。少し変わった方法なので1度は目を通しておきましょう。 例題 (1) (x+10) […]
今週の問題 問127 答え
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上野竜生です。問127の答えを発表します。 問127 7つの三角関数の積 \(\displaystyle \cos{\left(\frac{\pi}{127}\right)}\cos{\left(\frac{2\pi}{ […]
中線定理の8個の証明
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上野竜生です。今回は中線定理をいろいろな方法で証明したいと思います。 中線定理 図の△OABにおいてCはABの中点であるとする。このとき OA2+OB2=2(OC2+AC2) 証明１ 三角関数を用いて示す。 1-1 ∠A […]
|f(x)|の最大値をできるだけ小さくするf(x)はチェビシェフの多項式
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上野竜生です。今回はチェビシェフの多項式の応用問題として，|x|≦1の範囲で|f(x)|の最大値をできるだけ小さくするようなn次多項式の問題を扱います。初見ではほぼ不可能なので1回見ておきましょう。誘導がなければまず解け […]
πは無理数であることの証明
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上野竜生です。今回はπが無理数であることの証明を要求する入試問題があったのでそれを紹介します。かなり有名問題になってしまいましたが，美しい性質を示すのは道のりが大変なことが多いです。この問題も誘導があるとはいえ、かなり難 […]