連続n整数の積は何の倍数？
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上野竜生です。連続n整数の積が○の倍数であることはよく使います。実際に確認してみましょう。なお，基本的には結果だけ覚えればいいでしょう。 連続2整数の積 n×(n+1)は必ず2の倍数になる。 [証明]nが偶 […]
Author: 上野竜生
今週の問題 問７ 答え
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上野竜生です。問７の答えを発表します。 問７ すべての実数xに対し \( \cos{2x}=\cos^a{x}-\sin^b{x} \) が成立するような自然数の組\( (a,b) \)をすべて求めよ。 答 […]
ピタゴラス数の性質～「あまり」に着目～
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上野竜生です。a2+b2=c2を満たす整数(a,b,c)のことをピタゴラス数といいます。それについて性質をいくつか紹介します。整数問題のほかの問題にも応用が効きます。 あまりに着目せよ 例題１ 整数a,b,cがa2+b2 […]
n進法とは？
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上野竜生です。n進法については定義をしっかり理解しておけば高校範囲では問題ないでしょう。出題頻度はそれほど高くなく，定義に戻って考える時間はあるでしょう。 n進法の定義 n進法で\( a_k a_{k-1} \cdots […]
確率 (箱から玉を取り出す系)
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上野竜生です。前回，サイコロを投げる確率を扱いました。今回は確率の中でも箱から玉を取り出す問題に絞って紹介していきます。 取り出した玉を元に戻すか戻さないかが大事 問題文に書かれています。どう考えるのかというと ・元に戻 […]
宝くじの確率・期待値の計算方法
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上野竜生です。 宝くじの確率の計算などをやってみようと思います。ただしここでは一般論を考えてみたいと思います。 まずは比較的シンプルな場合 1等 x1円 確率p1 2等 x2円 確率p2 ハズレ 0円 1- […]
塾に行かなくても授業が受けられる「スタディサプリ」
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上野竜生です。皆さんは塾に行ってますか？難関大学に受かるには良い授業を受けないと厳しいのはわかってるけど高い・・・と思う人が普通でしょう。今回はそんな悩みを解決できるサイトを見つけたので紹介します。 スマホで授業を閲覧で […]
今週の問題 問６ 答え
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上野竜生です。問６の答えを発表します。 問６ ★ ある自然数\(n\)に対し\( (1+\sqrt{2})^n \)を計算すると整数部分は 263672646となった。この\( n \)と整数\( x,y \)に対し \ […]
数検1級への対角化・ジョルダン標準形
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上野竜生です。今日は行列の対角化・ジョルダン標準形のお話をします。ただしその前に行列式・固有値までの話が理解できていることが前提になります。 次の行列Aを対角化せよ。また対角化する行列Pを求めよ。（つまり\( P^{-1 […]
数検1級への統計学
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上野竜生です。数検１級の統計の問題はほぼ積分計算の知識でできます。実際に見ていきましょう。 f(x)を確率密度関数とするとき次が成り立ちます。 \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\inft […]
すべての整数nに対しf(n)が整数となる条件
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上野竜生です。すべての整数nに対し，f(n)が整数となる条件を求めるタイプを2問紹介します。意外とよく出ます。受験生なら差をつけるために知っておきたいところです。 パターン１ 実数係数多項式f(x)=ax2+bx+cがあ […]
関数の平行・対称移動の式
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上野竜生です。関数の平行・対称移動の式は直接問われることは少ないですが知っていて当たり前になっている知識です。ここを間違うとかなり点数を落とすのでしっかり覚えましょう。 高校で習う関数はF(x,y)=0の形で書けます。 […]
陽関数のグラフの書き方と重要な関数3つの例
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上野竜生です。数IIで出てくるような多項式のグラフならそれほど難しくありませんが数IIIのグラフはかなりすることが多く，何かを忘れてしまいそうになります。ここでは陽関数y=f(x)の形のグラフの書き方をお教えします。 基 […]
陰関数表示された関数のグラフの書き方
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上野竜生です。陰関数表示されたグラフの書き方は無理やりでもy=±√・・・の形の陽関数にすることです。対称性を見つければy=±√・・・のプラスマイナスは片方だけ調べればよくなります。 対称性があるなら見つけたい！ 書きたい […]
必要条件・十分条件クイズ
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上野竜生です。今回は必要条件・十分条件のクイズをやってみましょう。クイズは最後にあります。自信がある人はクイズだけでいいでしょう。自信がない人は必要事項をまとめてますのでそれを読んでからやるとより効果的でしょう。 &nb […]