対称式の最大・最小値
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上野竜生です。対称式で表された式の最大・最小値を求める方法を紹介します。見えない条件（実数条件）を見落としがちなので注意しましょう。 解き方 対称式はすべて基本対称式だけで表せる。 なのでu=x+y , v=xyとおき， […]
Author: 上野竜生
直線が定数kの値に関係なく通る定点の座標
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上野竜生です。数IIの練習問題でkの式で表された直線が定数kの値に関係なく通る点の座標を求めるというのがあります。それを解いてみましょう。 解き方 定数kの値に関係なく通る点 ＝kの恒等式となるようなx,yの値を求める […]
場合の数 基本は全部数える！時間を短縮するための計算
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上野竜生です。場合の数はなかなかクセがあり，苦手とする人も多いと思います。確かにここはある意味で難しいです。ややこしくなっている人のためにいくつかパターンを紹介します。 記号の理解 n!とは1からnまでの整数をすべてかけ […]
余事象を利用した場合の数の求め方
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上野竜生です。余事象を利用して場合の数を求めてみましょう。 基本 普通に求めるのが大変そうな場合は全体の数から条件に当てはまらない場合の数を引けば条件に当てはまる場合の数が求まる。 例題１ 「１」「２」「３」「４」「５」 […]
今週の問題 問44 答え
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上野竜生です。問44の答えを発表します。 問44 ★ 次の3条件をすべて満たす自然数nは存在するか？ <条件1> nを2019で割った余りは1ではない。 <条件2> n2を2019で割った余りは1 […]
○の倍数は何通りできるか問題
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上野竜生です。数字の並べ替えで○の倍数が何通りあるかの問題を紹介します。 例題 「０」「１」「２」「３」「４」から3枚を選んで3桁の整数を作る。なお先頭に0がくるもの、たとえば012は2桁の整数12とみなす。 (1) 3 […]
組にわける方法は何通り？
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上野竜生です。組に分ける方法は何通りあるかの問題について解説します。微妙なニュアンスの違いで答えが変わってくるので注意が必要です。 重要なのは区別できるかできないか 具体例は下の例題のようなものを参考にしてください。基本 […]
辞書式に並べたとき何番目問題
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上野竜生です。数字を並べ替えたり文字を辞書式に並べ替える場合の問題を解説します。 数字の並べ替え 「１」「２」「３」「４」「５」「６」「７」の7つの数字を並べ替えてできる5040個の数字を小さいほうから順に並べ替える。 […]
不定方程式
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上野竜生です。不定方程式の解き方を勉強します。 基本パターン２つを詳しく説明し，応用パターンを軽く紹介します。 基本パターン１：axy+bx+cy=dのパターン この場合は無理やり\( axy+bx+cy=d\)を\( […]
今週の問題 問43 答え
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上野竜生です。問43の答えを発表します。 問43 ★ 2a+2b+2cが10以下の整数となるような整数(a,b,c)の組は何個あるか 答え X=2a+2b+2cとする。明らかにX>0である。 a,b, […]
不定方程式を解く基本2パターン（大小関係の設定と因数分解）
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上野竜生です。整数問題の基本・不定方程式を解くときの基本パターンを2つ紹介します。 パターン１：大小関係の設定 例題１：\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\fr […]
√(2次関数)が整数となるnの値は？
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上野竜生です。√2次式が整数になるようなnの値を求める問題の解法を紹介します。 基本：＝Nとおき両辺を2乗する。 例題１：\( \sqrt{n^2-45} \)が整数となるような整数nの値をすべて求めよ。 答え\( \s […]
分数で書かれた式が整数となるnの値は？
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上野竜生です。分数で書かれた式が整数となるような整数(自然数)nの値を求めるパターンの解き方を紹介します。 例題１ 「\(\frac{a}{n}\)が整数⇔nはaの約数」を使うパターン \(\displaystyle \ […]
ユークリッドの互除法 大体は使わなくてもできますが・・・
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上野竜生です。○x＋△y=1を満たす整数x,yの組を1組見つけるのがユークリッドの互除法の大きなメリットです。その方法を解説します。なお，見つけた後の応用分野については別の記事で行います。 ユークリッドの互除法とは本来は […]
今週の問題 問42 答え
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上野竜生です。問42の答えを発表します。 問42 ★ \(\displaystyle \int_2^{\pi} \frac{\tan{x}}{\tan{x}+\tan{(2-x)}}dx \)の値を求めよ。 […]