円の方程式（複素数平面）
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上野竜生です。複素数平面上で円の方程式を表す方法を２つ紹介します。 複素数平面上で円の方程式を表す ケース１ |z-α|=r これはほとんど自明ですね。αを中心とする半径rの円になります。 ケース２ m|z-α|=n […]
Author: 上野竜生
面積による不等式の証明
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上野竜生です。今回は数列の和の不等式の証明で面積を使って積分するものを紹介します。題材はオイラー定数に関係する有名事実です。 例題 (1) \(\displaystyle \log{(n+1)} < \sum_ […]
定積分の微分（やや複雑な場合）
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上野竜生です。今回は定積分であらわされた関数の微分を扱います。定積分の中に微分する文字xなどが入っていない場合は明らかに微分すると0ですが積分区間にxが入っている場合を解説します。 例題 (1) \(\displayst […]
今週の問題 問53 答え
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上野竜生です。問53の答えを発表します。 問53 ★ aを実数の定数とする。xについての3次方程式 \(x^3 + 2ax^2 +a^2-2a+1=0\) の実数解を\(\alpha\)とするとき、\(\alpha\)の […]
積分方程式(数IIIレベル)
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上野竜生です。積分方程式の上級編として数IIIレベルの積分方程式を扱います。やり方はほぼ数IIのときと同じですがかなり難しく感じると思います。 復習 積分方程式の解き方（基本） ・\( \displaystyle \in […]
三角関数の直交性（sinnxcosmxの積分）
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上野竜生です。 基本的な積分計算はできるようになった人のための応用例として三角関数の直交性を紹介します。本格的にやると大学で習うレベルですが簡単な例だと高校範囲で十分できるので入試にもたまに出ます。 三角関 […]
双曲線関数(高校範囲レベル)
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上野竜生です。大学で習う双曲線関数ですが高校生でも理解できますし知っていると得になることもあるので教えておきます。 ただし，やはり大学で習う内容なのであまり好んで出題されはしないです。 例題 \(\displaystyl […]
積分（置換積分）何をtとおく？
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上野竜生です。置換積分とは次の公式です。 $$ \int_{a}^{b} f(x)dx= \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t) dt $$ ただし，\( x=g(t) , a=g(\alp […]
今週の問題 問52 答え
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上野竜生です。問52の答えを発表します。 問52 ★ 不定積分\(\displaystyle \int \frac{\sin{x}}{2\sin{x}+\cos{x}} dx \)を計算せよ。 答え \(\ […]
aのb乗=bのa乗の整数解と大小比較と類題
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上野竜生です。aのb乗とbのa乗に関する問題はたまに出るのでここで解き方を紹介します。 例題 99100と10099ではどちらが大きいか？ こういう問題の解き方はある関数f(x)をおいてf(99)とf(10 […]
単純な置換積分ならわざわざ置換する必要なし
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上野竜生です。ある程度置換積分に慣れてきた人にとってわざわざ何をtとおくか明記して・・・というのは面倒ですね。ある程度単純なものは置換するまでもない積分があります。実際に見てみましょう。 例題１ 不定積分 次の不定積分 […]
部分積分～どっちを微分する？～
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上野竜生です。部分積分の基本の公式と実際の適用パターンについて紹介します。 部分積分の公式 \( \displaystyle \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx \ […]
今週の問題 問51 答え
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上野竜生です。問51の答えを発表します。 問51 ★ 0°<x<22.5°の範囲で次の方程式を解け。 \(\displaystyle \frac{1}{\tan{x}}-\frac{1}{\tan{2x}}- […]