今週の問題 問67 答え
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上野竜生です。問67の答えを発表します。 問67 ★ 図のような縦12cmの箱がある。この箱の中に半径1cmの円をたくさん詰めることを考える。詰め方は次のパターンA・Bのどちらかであるとする。 【パターンA】 下の図１の […]
Author: 上野竜生
Pから楕円にひいた2つの接線が直交するときの軌跡(楕円の準円)
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上野竜生です。楕円の外にある点Pから楕円には2つの接線が引けますが，その接線が直交するような点の軌跡を求めてみましょう。かなり難しいです。 問題 点P(X,Y)から楕円\(\displaystyle \frac{x^2} […]
実数解と虚数解で扱いを変えよ！
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上野竜生です。方程式の解の問題では実数解か虚数解かで性質が異なります。それを利用した問題を解いてみましょう。 2次方程式x2+sx+t=0の2つの解をα,βとする。 |α|+|β|=2となるような実数(s,t)の範囲を図 […]
今週の問題 問66 答え
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上野竜生です。問66の答えを発表します。 問66 ★ 自然数n,mを用いて 202n+10mの形で表すことができない自然数のうち2020以下のものはいくつあるか？ 答え まず202n+10m=2(101n+ […]
1のn乗根に関する問題
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上野竜生です。1のn乗根に関する問題を紹介します。 [ポイント] 1のn乗根のうち1でないものの1つをαとする。 つまりαn=1,α≠1 αn=1⇔αn-1=0⇔(α-1)(αn-1+αn-2+・・・+α2+α+1)=0 […]
z^n=αを複素数の範囲で解く
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上野竜生です。今回は複素数の比較的シンプルな方程式\(z^n=\alpha \)の解き方を紹介します。 解法 \(z^n=\alpha \)のタイプの方程式は極形式にすれば比較的簡単に解ける。 つまり\( z=r(\co […]
指数関数・対数関数のグラフ
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上野竜生です。指数関数のグラフと対数関数のグラフ，それらの性質について紹介します。二次試験でこれらの基本が問われることはほぼないですが共通テストで問われることがあります。 y=axのグラフ a>1のときは左の赤いグ […]
今週の問題 問65 答え
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上野竜生です。問65の答えを発表します。 問65 ★ 次の空欄に当てはまる整数を答えよ。 9を99個ならべそのあとに89と続く整数 999999999・・・999989をAとする。\(\frac{1}{A}\)を小数で表 […]
一般の方程式の実数解の個数(定数分離)
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上野竜生です。一般の場合に実数解の個数を求める問題で，特に定数分離でできるものを取り扱います。 基本は3次方程式の解の個数の記事をご覧ください。 例題 3次方程式x3-3(a+3)x2+36ax-72a=0 […]
定積分の不等式の証明
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上野竜生です。定積分の値を具体的に求めるのではなく「○以上であることを証明せよ」といった出題もあります。このタイプはアイデアはわかりやすいですが具体的にどうするかは非常に難しく経験も必要です。 アイデア 基本は \(g( […]
不等式が常に成り立つ条件
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上野竜生です。不等式が常に成り立つようなaの範囲を求める問題を紹介します。２パターンありますよ。 証明方法 １ （左辺）－（右辺）の最小値[最大値]を求め、それと0との大小を比較する。 ２ aを定数分離し、残った部分のグ […]
今週の問題 問64 答え
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上野竜生です。問64の答えを発表します。 問64 ★ \( 0\leq x < 2\pi , 0 \leq y <2\pi \)の範囲で次の連立方程式の解の組(x,y)は全部で何個あるか？ \(\begin{ […]
2020年あけましておめでとうございます
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上野竜生です。2019年も終わりました。毎年のことですが今年受験生の人は今お祝いどころではないと思います。頑張ってください。 2019年の目標は達成できたか？ 高校範囲の数学を全部網羅！ ということですが実は1通りすべて […]
ベクトルの基本と足し算・定数倍
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上野竜生です。今回はベクトルの初歩についてお話します。ベクトルとは何か！わかりますよ。 ベクトルとは？ ベクトルとは向きと大きさをもつ量である。 2つのベクトルが等しいとは向きも大きさも両方等しいことをいう。 大きさが0 […]
内積の定義と垂直条件
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上野竜生です。今回は内積の定義や基本事項を確認したいと思います。 内積の定義 なす角θを用いた定義 \(\vec{OA}\)と\(\vec{OB} \)のなす角(∠AOB)をθとする。このとき\(\vec{OA}\)と\ […]