今週の問題 問108
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問題 （★） 問108 [数学オリンピック 2019] AB>ACをみたす三角形ABCの内心をIとし，辺AB,ACを1:8に内分する点をそれぞれD,Eとする。三角形DIEが一辺の長さが1の正三角形であるとき，線分A […]
Author: 上野竜生
放物線の直交する接線の交点の軌跡
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上野竜生です。今回は放物線の直交する接線の交点の軌跡を紹介します。特に新しいことはなく時間がない人は読まなくてもいいレベルですが，有名事実なのでこのまま出題される可能性があります。 例題 y=ax2(a≠0)上の異なる2 […]
関数方程式(多項式の場合)
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上野竜生です。今回は多項式とわかっている場合の関数方程式の解き方を紹介します。解答例が長くて難しそうですが，アイデアはシンプルです。 問題 \( xf(x)=\{ f'(x) \}^2 +x^2-1 \)を満たす整式f( […]
多項式が(x-a)^2で割り切れる条件
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上野竜生です。今回は多項式が(x-a)2で割り切れる条件を考えます。ただし，これの説明には数IIIで習う積の微分を使います。 積の微分 f(x)g(x)をxで微分するとf'(x)g(x)+f(x)g'(x) これは厳密に […]
極限・微分の定義・公式(数II)
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上野竜生です。今回は数IIの微分をするための基本的な極限と基本的な微分を学びます。普通の文系の人なら途中理解できなくても最後の微分だけできればいいかと思います。仕組みがわからなくても機械的に微分できるので最低限そこだけで […]
直交行列など特殊な行列の対角化
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上野竜生です。直交行列など特殊な行列の対角化を扱います。 実対称行列の対角化 ＜復習＞対称行列とはAt=Aを満たす正方行列のこと。特にAの成分が実数ならば実対称行列という。 POINT実対称行列は次の性質が成り立つ ①固 […]
2021千葉大大問4(良問)
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上野竜生です。今回は千葉大学の良問を扱います。 問題 [2021 千葉大 大問4] mを正の整数とする。座標平面上の点(x,y)で \( xn^3+yn^2 (n=1,2,3,\cdots ) \) がすべて整数であるよ […]
2021早稲田理工大問2(良問)
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上野竜生です。入試問題の中で良問だったものを紹介します。 [2021早稲田理工大問2] 整式\( f(x)=x^4-x^2+1 \)について，以下の問に答えよ。 (1) \(x^6\)をf(x)で割ったときの余りを求めよ […]
今週の問題 問107 答え
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上野竜生です。問107の答えを発表します。 問107 \(x+y=6,x\geq 1,y\geq 1\)のとき \( x^2 y^2 – x^2 – y^2 +xy \)の最大値と最小値をそれぞれ […]
今週の問題 問107
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問題 （★） 問107 \(x+y=6,x\geq 1,y\geq 1\)のとき \( x^2 y^2 – x^2 – y^2 +xy \)の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。 答えが […]
今週の問題 問106 答え
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上野竜生です。問106の答えを発表します。 問106 a,b,cは実数の定数とし，\(f(x)=ax^2-8x-9\)とする。 \(\displaystyle \int_b^c f(x)dx=4\sqrt{2}-6 , […]
今週の問題 問106
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問題 （★） 問106 a,b,cは実数の定数とし，\(f(x)=ax^2-8x-9\)とする。 \(\displaystyle \int_b^c f(x)dx=4\sqrt{2}-6 , \) \(\displayst […]
今週の問題 問105 答え
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上野竜生です。問105の答えを発表します。 問105 [14 摂南大] \( \displaystyle x\geq 0 , y \geq 0 , x+y=\frac{2}{3} \pi \)とする。 \(\displa […]
今週の問題 問105
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問題 （★） 問105 [14 摂南大] \( \displaystyle x\geq 0 , y \geq 0 , x+y=\frac{2}{3} \pi \)とする。 \(\displaystyle \frac{\s […]
判別式と実数解の個数（x軸との交点の数・x軸と接する条件）
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上野竜生です。今回は判別式を紹介します。判別式を使った応用問題も紹介します。判別式は便利でよく使いますよ。 2次方程式\( ax^2+bx+c=0 \)の解は解の公式より \[ x=\frac{-b \pm \sqrt{ […]