数列の極限の求め方その4 （漸化式で与えられた場合）
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上野竜生です。an+1=f(an)で定められた数列で（一般項は出せないけど）極限だけ出せるタイプの問題を解説します。 一般項が求まる漸化式の場合 一般項を求めてから極限計算するだけです。ほとんどが数Bの範囲になるので何も […]
Year: 2018年
楕円は円のy軸方向の拡大。しかし落とし穴が
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上野竜生です。楕円は円をy軸方向（もしくはx軸方向）のみに拡大して得られるものです。それを利用すると便利なこともあるのですが落とし穴もあります。しっかり理解しましょう。なおここでは楕円と円の関係に絞って解説していくので焦 […]
Pから楕円にひいた2つの接線が直交するときの軌跡(楕円の準円)
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上野竜生です。楕円の外にある点Pから楕円には2つの接線が引けますが，その接線が直交するような点の軌跡を求めてみましょう。かなり難しいです。 問題 点P(X,Y)から楕円\(\displaystyle \frac{x^2} […]
一般の方程式の実数解の個数(定数分離)
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上野竜生です。一般の場合に実数解の個数を求める問題で，特に定数分離でできるものを取り扱います。 基本は3次方程式の解の個数の記事をご覧ください。 例題 3次方程式x3-3(a+3)x2+36ax-72a=0 […]
ベクトル方程式の基本
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上野竜生です。ベクトル方程式というと何か難しい感じがします。平面のときはそんなこと使わなくても・・・と思いますが空間に応用できるのでまずは平面からベクトル方程式を理解しましょう。 以下ではOはすべて原点を表すものとします […]
積分方程式(数IIIレベル)
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上野竜生です。積分方程式の上級編として数IIIレベルの積分方程式を扱います。やり方はほぼ数IIのときと同じですがかなり難しく感じると思います。 復習 積分方程式の解き方（基本） ・\( \displaystyle \in […]
三角関数の直交性（sinnxcosmxの積分）
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上野竜生です。 基本的な積分計算はできるようになった人のための応用例として三角関数の直交性を紹介します。本格的にやると大学で習うレベルですが簡単な例だと高校範囲で十分できるので入試にもたまに出ます。 三角関 […]
単純な置換積分ならわざわざ置換する必要なし
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上野竜生です。ある程度置換積分に慣れてきた人にとってわざわざ何をtとおくか明記して・・・というのは面倒ですね。ある程度単純なものは置換するまでもない積分があります。実際に見てみましょう。 例題１ 不定積分 次の不定積分 […]
部分積分～どっちを微分する？～
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上野竜生です。部分積分の基本の公式と実際の適用パターンについて紹介します。 部分積分の公式 \( \displaystyle \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx \ […]
メルカトル級数とライプニッツ級数
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上野竜生です。自然数の逆数を足したり引いたりするとlog2に近づき、奇数の逆数を足したり引いたりすると\(\frac{\pi}{4} \)に近づくという面白い性質があります。それを証明します。 それと同時に高校生が間違い […]
指数方程式と指数不等式
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上野竜生です。今回は指数方程式と指数不等式の解き方を一気に紹介します。 指数方程式 解法１：底を統一して指数比較（もしくは対数をとる） あとの解法２でも最後にはこの解法１に帰着されるので超基本解法です。これで解けるパター […]
弧度法
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上野竜生です。角度を表すときは60°などの度数法で表すのが普通でした。しかし，これからは弧度法で表したほうが便利なこともあります。そこで弧度法を学習しておきましょう。 弧度法の定義 半径1の扇形で弧の長さが1の中心角を1 […]
三角関数の加法定理の証明
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上野竜生です。今回は三角関数の加法定理の証明を中心に扱います。加法定理の適用はまた別のページで行います。 三角関数の加法定理 \( \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta} […]
2点間の距離・内分・外分する点の座標の求め方
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上野竜生です。座標平面の基本となる距離・内分・外分の公式を理解しましょう。なおここで1次元～3次元まですべて扱います。 【復習】1次元のとき 点A(x1)とB(x2)の距離は|x1-x2| AとBをm:nに内分する点の座 […]
3点の座標が与えられたとき、その三角形はどんな三角形か答える問題
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上野竜生です。3点A,B,Cの座標が与えられたときABCはどんな三角形かを当てる問題の解き方を紹介します。ただ滅多に出題されないでしょう・・・。 方針 AB2 , BC2 , CA2を計算する。 等しいものがあれば二等辺 […]